Soit \(f:[a,b]\to\Bbb R\) une fonction continue sur \([a,b]\) et dérivable sur \(]a,b[\)
si \(\forall x\in (a,b),f'(x)\geqslant 0\), alors \(f\) est croissante
réciproquement, si \(f\) est croissante, alors \(\forall x\in(a,b),f'(x)\geqslant0\)
Démonstration :
>1. Supposons que \(\forall x\in(a,b),f'(x)\geqslant0\)
Soient \(x,y\in(a,b)\) tels que \(x\leqslant y\)
Par le Théorème des accroissements finis, il existe \(c\in(x,y)\) tel que \(f(x)-f(y)=f'(c)(x-y)\)
Mais \(f'(c)\geqslant 0\) (d'après la première supposition) et \(x-y\leqslant0\)
Alors \(f(x)-f(y)\leqslant0\)
Alors \(f(x)\leqslant f(y)\)
Donc \(f\) est croissante
>2. Soit \(f\) une fonction croissante
>alors, si \(y\gt x\), on a \(f(y)-f(x)\geqslant0\)
>$$\lim_{y\to x}{f(y)-f(x)\over y-x}\geqslant0$$
>alors \(\forall x, f'(x)\geqslant0\)
Remarque :
\(f\) est strictement croissante sur \([a,b]\) n'implique pas que \(f'(x)\gt 0\) pour chaque \(x\in[a,b]\)
(Fonction croissante, Fonction décroissante, Fonction strictement croissante, Fonction strictement décroissante)
Exemple :
\(f:x\mapsto x^3\) est strictement croissante, pourtant \(f'(0)=3\times 0^2=0\)
